Question

（2012•西崗區(qū)模擬）已知：拋物線y=ax²-2ax+c-1的頂點A在一次函數(shù)y=-

8

3

x+8的圖象上，該拋物線與x軸交于B、C兩點（B在C的左側），且過點D（0，4）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設H為線段OC上一點，過點H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面積等于

16

5

，求直線HK的解析式；
（3）在（2）問的基礎上拋物線上是否存在一點P，過點P作PQ⊥x軸，交直線HK于Q，使點A、H、P、Q為等腰梯形的四個頂點？若存在求P點的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的解析式不難確定對稱軸的坐標，代入一次函數(shù)的解析式中，即可得二次函數(shù)的頂點坐標，再結合點D的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式．
（2）過K作KM⊥x軸于M，由于HK∥BD，可判定△BOD∽△HMK，若設HM=m，根據(jù)HM、MK的比例關系即可得出MK的長度表達式，進而在Rt△CMK中，由∠OCA的正切值可求出CM的長，則HC的長可得，已知△HKC的面積，即可得到m的值，進而可求出H、K的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線HK的解析式．
（3）由（2）的計算結果不難看出AH恰好與y軸平行，而PQ也和y軸平行，即AH∥PQ，若以A、H、P、Q為頂點的四邊形是等腰梯形，那么AH、PQ必為梯形的上下底，因此A、P兩點的縱坐標差的絕對值應等于點Q到x軸的距離（或Q、H縱坐標差的絕對值），可據(jù)此來列出等式求出P點的坐標．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸：x=1，則頂點A（1，

16

3

），依題意，有：

c-1=4 a-2a+c-1= 16 3

，
解得

a=- 4 3 c=5

故拋物線的解析式：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）由（1）知，拋物線的頂點A（1，

16

3

），過K作KM⊥x軸于M；
∵KH∥BD，
∴∠DBO=∠KHM
又∵∠DOB=∠KMH=90°，
∴Rt△DOB∽Rt△KMH，
∴

KH

HM

=

DO

OB

=4，設HM=m，則KM=4m；（m＞0）
在Rt△CKM中，tan∠KCM=

8

3

，CM=KM÷tan∠KCM=

3

2

m；
∴S_△CHK=

1

2

×（m+

3

2

m）×4m=

16

5

，解得：m=

4

5

則：CH=

5

2

m=2，KM=4m=

16

5

，OH=OC-CH=1，OM=OC-CM=

9

5

即：H（1，0）、K（

9

5

，

16

5

）；
設直線HK：y=kx+b，代入點H、K的坐標，得：

k+b=0 9 5 k+b= 16 5

，
解得

k=4 b=-4

故直線HK的解析式：y=4x-4．

（3）由A（1，

16

3

）、H（1，0）知，AH∥y軸；
而PQ⊥x軸，即PQ∥y軸，所以AH∥PQ，若以A、H、P、Q為頂點的四邊形為等腰梯形，則AH、PQ為底（如右圖），
此時，點P必在拋物線對稱軸的右側，且Rt△AFQ≌Rt△HGP，則有：|y_Q-y_A|=|y_P|
設P（x，-

4

3

x²+

8

3

x+4），則Q（x，4x-4），（x＞1），可列等式：
|4x-4-

16

3

|=|-

4

3

x²+

8

3

x+4|，
解得：x=4
則P（4，-

20

3

）、Q（4，12），PQ＞AH；
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為（4，-

20

3

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、相似三角形和全等三角形的應用以及等腰梯形的判定和性質(zhì)；在判定等腰梯形時，一定要注意平行的一組邊不能相等，這個條件是容易被忽視的地方．