Question

10．如圖，已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線PD與AC交于點D．
（1）如圖1，若∠CPA=30°，求∠CDP的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠CPA≠30°，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請求出∠CDP的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，只要證明∠A=30°，∠APD=15°，即可計算∠CDP．
（2）由∠COP+∠CPO=90°，得2（∠A+∠APD）=90°，即∠A+∠APD=45°，由此即可計算．

解答 解：（1）連接OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=15°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
（2）成立．
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°，
∵PD是∠CPA的平分線，
∴∠APC=2∠APD，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A，
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2（∠A+∠APD）=90°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
所以（1）中結論依然成立．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、圓的有關知識，解題的關鍵是利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和，屬于中考常考題型．