Question

如圖1、2是兩個相似比為1：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．
（1）在圖3中，繞點D旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E，F(xiàn)，如圖4．求證：AE²+BF²=EF²；
（2）若在圖3中，繞點C旋轉小直角三角形，使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F，如圖5，此時結論AE²+BF²=EF²是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．


（3）如圖6，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，AE、AF分別與對角線BD交于M、N，試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連CD，由條件得到點D為AB的中點，則CD=AD，∠4=∠A=45°，易證△CDF≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE²+CF²=EF²，因此得到結論．
（2）把△CFB繞點C順時針旋轉90°，得到△CGA，根據(jù)旋轉的性質得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易證△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到結論AE²+BF²=EF²仍然成立；
（3）把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABP，點N的對應點為Q，根據(jù)旋轉的性質得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，得到EF=BE+DF，則EF=EP，證得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易證得∠QBN=90°，于是有BQ²+BM²=QM²，從而得到BM²+DN²=MN²．
解答：證明：（1）連CD，如圖4，
∵兩個等腰直角三角形的相似比為1：，
而小直角三角形的斜邊等于大直角三角形的直角邊，


∴點D為AB的中點，
∴CD=AD，∠4=∠A=45°，
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
∴△CDF≌△ADE，
∴CF=AE，
同理可得△CED≌△BFD，
∴CE=BF，
而CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²；

（2）結論AE²+BF²=EF²仍然成立．理由如下：
把△CFB繞點C順時針旋轉90°，得到△CGA，如圖5
∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，
∴∠GAE=90°，
而∠3=45°，
∴∠2+∠4=90°-45°=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴△CGE≌△CFE，
∴GE=EF，
在Rt△AGE中，AE²+AG²=GE²，
∴AE²+BF²=EF²；

（3）線段BM、MN、DN能構成直角三角形的三邊長．理由如下：
把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABP，點N的對應點為Q，如圖

∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，
∵△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，
∴EF=BE+DF，
∴EF=EP，
∴△AEF≌△AEP，
∴∠1=∠3+∠4，
而AQ=AN，
∴△AMQ≌△AMN，
∴MN=QM，
而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，
∴∠QBN=90°，
∴BQ²+BM²=QM²，
∴BM²+DN²=MN²．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角；也考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理的應用．