Question

6．已知a，b，c分別為△ABC的 三邊長，當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 先將原方程變形為一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)式，再根據(jù)該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出△=0，代入數(shù)據(jù)即可得出a²+b²-c²=0，由此即可證出結(jié)論．

解答 證明：方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0可變形為（b+c）x²-2$\sqrt{m}$ax+cm-bm=0，
∵當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=$（-2\sqrt{m}a）^{2}$-4（b+c）（cm-bm）=4m（a²+b²-c²）=0．
∵m＞0，
∴a²+b²-c²=0，
∵a，b，c分別為△ABC的三邊長，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式以及勾股定理的逆運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)△=0找出a²+b²-c²=0．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根的個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．