Question

教材第66頁探索平方差公式時設置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的

大正方形紙片上（如圖9−6），你能通過計算未蓋住部分的面積得到公式(a + b) (a − b) = a² − b²嗎？

（不必證明）

(1)如果將小正方形的一邊延長（如圖①），是否也能推導公式？請完成證明．

(2) 面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”．例如，著名的趙爽弦圖（如圖②，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為4´ab + (a − b)²，由此推導出重要的勾股定理：a² + b² = c²．

圖③為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你完成證明．

(3) 試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋(a − 2b)² = a² − 4ab + 4b²，畫在下面的格點中，并標出字母a、b所表示的線段．

 

Answer 1

【答案】

(1) 未蓋住部分的面積為：a² − b²，

也可以看作a (a − b) + b ( a − b) = (a − b) ( a + b)；

∴(a − b) ( a + b) = a² − b²．

(2) 梯形ABCD的面積為：(a + b) (a + b)，

又可以表示為：2´ab + c²．

∴(a + b) (a + b) = 2´ab + c²，化簡得：a² + b² = c²

(3)

【解析】（1）采用大正方形面積-小正方形面積=兩個不相等的長方形面積這和求出平方差公式；

（2）利用梯形面積等于三個直角三角形面積之和證出勾股定理；

（3）根據以上結論來作圖。