Question

（2013•丹陽市一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A．B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，DB．
（1）若∠OBC=38°，∠ADC=19°，求∠DOB的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑是4，AC=2

3

．求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，求出∠到，∠包，即可求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理得出∠DOB=2∠DAB，代入求出即可．
（2）根據(jù)垂徑定理求出DC⊥AB，求出OC，求出DC，根據(jù)勾股定理求出BD即可．

解答：解：（1）連接OA，
∵OA=OD=OB，
∴∠DAO=∠ADC，∠OBC=∠OAB，
∵∠OBC=38°，∠ADC=19°，
∴∠DAO=19°，∠OAB=38°，
∴∠DAB=19°+38°=57°，
∴由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=2×57°=114°．

（2）∵C為AB中點(diǎn)，OC過O，
∴DC⊥AB，BC=AC=2

3

，
∵OB=4，
∴在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC=2，
即DC=OD+OC=4+2=6，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BD=

DC2+CB2

=

62+(2 3 )2

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．