Question

如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度數(shù)為    °；

（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）45．

     理由如下：令x=0，則y=-m，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-m）．

令y=0，則，解得，．

∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0）．∴OB=OC=m．

∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．

（2）解法一：如圖①，作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，

由題意得，拋物線的對稱軸為．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，n）．

∵PA= PC， ∴PA²= PC²，即AE²+ PE²=CD²+ PD²．

∴．

解得．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

解法二：連接PB．

由題意得，拋物線的對稱軸為．

∵P在對稱軸l上，∴PA=PB．

∵PA=PC，∴PB=PC．

∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，

∴P在BC的垂直平分線上．

∴P點(diǎn)即為對稱軸與直線的交點(diǎn)．

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）解法一：存在點(diǎn)Q滿足題意．

∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴PA²+ PC²=AE²+ PE²+CD²+ PD²

=．

∵AC²=，∴PA²+ PC²=AC²．∴∠APC＝90°．

∴△PAC是等腰直角三角形．

∵以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形．

∴由題意知滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，0）或（0，m）．

①如圖①，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-m，0）時(shí)，

若PQ與x軸垂直，則，解得，PQ=．

若PQ與x軸不垂直，

則．

∵0＜m＜1，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴當(dāng)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）時(shí)， PQ的長度最�。�

②如圖②，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）時(shí)，

若PQ與y軸垂直，則，解得，PQ=．

若PQ與y軸不垂直，

則．

∵0＜m＜1，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴當(dāng)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）時(shí)， PQ的長度最小．

綜上：當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（0，）時(shí)，PQ的長度最�。�

解法二： 如圖①，由（2）知P為△ABC的外接圓的圓心．

∵∠APC 與∠ABC對應(yīng)同一條弧，且∠ABC＝45°，

∴∠APC＝2∠ABC＝90°．

下面解題步驟同解法一．