Question

（本小題滿分8分）

已知拋物線y＝ax²＋bx＋6與x軸交于A、B兩點（點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)），與y軸交于點C，且OB=OC，tan∠ACO=，頂點為D．

1.（1）求點A的坐標(biāo)．

2.（2）求直線CD與x軸的交點E的坐標(biāo).

3.（3）在此拋物線上是否存在一點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

4.（4）若點M（2，y）是此拋物線上一點，點N是直線AM上方的拋物線上一動點，當(dāng)點N運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABMN的面積S最大? 請求出此時S的最大值和點N的坐標(biāo)．

5.（5）點P為此拋物線對稱軸上一動點，若以點P為圓心的圓與（4）中的直線AM及x軸同時相切，則此時點P的坐標(biāo)為      .

 

Answer 1

 

1.解：（1）根據(jù)題意，得C（0,6）.

在Rt△AOC中，，OC＝6，

∴OA＝1.∴A（－1,0）

2.（2）∵，∴OB＝3.  ∴B（3,0）.

由題意，得   解得

∴.

∴D（1,8）.    ……………………………………………………………………2分

可求得直線CD的解析式為.

∴E（－3,0）.

3.（3）假設(shè)存在以點A、C、F、E為頂點的平行四邊形，

則F₁（2,6），F₂（－2,6），F₃（－4,－6）.

經(jīng)驗證，只有點（2,6）在拋物線上，

∴F（2,6）

4.（4）如圖，作NQ∥y軸交AM于點Q，設(shè)N（m, ）.

當(dāng)x＝2時，y＝6，∴M（2,6）.

可求得直線AM的解析式為.

∴Q（m，2m＋2）.

∴NQ＝.

∵，其中，

∴當(dāng)最大時，值最大.

∵

,

,

.

∴當(dāng)時，的最大值為.

∴的最大值為.……………………………………………………………………6分

當(dāng)時，. 

∴N（，）.  

5.（5）P₁（1，），P₂（1，）.  …………………………………………8分

說明：寫成P₁（1，），P₂（1，）不扣分

解析:略