Question

11．已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，-3），對(duì)稱(chēng)軸x=1，拋物線與x軸兩交點(diǎn)B、C的距離為4．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）請(qǐng)寫(xiě)出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）若拋物線上有一點(diǎn)P，使△PBC的面積為8，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）把（1）中解析式配成頂點(diǎn)式即可得到該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（t，t²-2t-3），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=8，然后分別解方程t²-2t-3=4和方程t²-2t-3=-4求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，拋物線與x軸兩交點(diǎn)B、C的距離為4，
∴B（-1，0），C（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把A（2，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
（3）設(shè)P（t，t²-2t-3），
∵$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t^2-2t-3|=8，
∴t²-2t-3=4或t²-2t-3=-4，
解方程t²-2t-3=4得t₁=1+2$\sqrt{2}$t₂=1-2$\sqrt{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）；
解方程t²-2t-3=-4得t₁=t₂=1，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（3）小題的關(guān)鍵是利用三角形面積公式得到t的方程．