Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到 △A1BC1．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）；（3），7.

【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠CC1B=∠C1CB=45°，根據(jù)∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B得解；

（2）通過證明△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得到，，據(jù)此解得△CBC1的面積；

（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，求得BD=，①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1=BP1﹣BE；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，EP1=BC+BE．

試題解析：解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°；

（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．

（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小．最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如圖2，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7．