Question

向△ABC外作正方形ACFG與ABDE，過A作BC的垂線AH，H為垂足，AH與EG交于P點．求證：AP=

1

2

BC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作EM∥AG交AP延長線于M，連接GM，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到一對角互補，再由周角定義及正方形現(xiàn)在得到一對角互補，利用同角的補角相等得到一對角相等，再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用正方形的性質(zhì)得到夾邊相等，利用ASA得到三角形AEM與三角形BAC全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EM=AC，AM=BC，根據(jù)AC=AG，等量代換得到EM=AG，再由EM與AG平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，得到AEMG為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到AP=

1

2

AM，等量代換即可得證．

解答：證明：作EM∥AG交AP延長線于M，連接GM，
∴∠AEM+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAG=180°，
∴∠AEM=∠BAC，
∵AH⊥MC，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
∵∠EAM+∠BAH=180°-∠BAE=90°，
∴∠EAM=∠ABH，
在△AEM和△BAC中，

∠AEM=∠BAC AE=AB ∠EAM=∠ABH

，
∴△AEM≌△BAC（ASA），
∴EM=AC，AM=BC，
∵AC=AG，
∴EM=AG，
∵EM∥AG，
∴AGME是平行四邊形，
∴AP=

1

2

AM，
∴AP=

1

2

BC．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．