Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），求PC的長(zhǎng)；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，則PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴= 即 =，
∴PC=2；

（2）①tan∠PEF的值不變．
理由：過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G，
則四邊形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴===2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴tan∠PEF的值不變；

②設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，
∴線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為O₁O₂=PC=．

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不變．過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比===2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；
②如圖3，畫(huà)出起始位置和終點(diǎn)位置時(shí)，線段EF的中點(diǎn)O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)，也就是△BPC的中位線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．