Question

已知△ABC，AB=AC=2，∠A=90°，取含45°角的直角三角尺，將45°的頂點放在BC中點O處，并繞點O處順時針旋轉三角尺，當45°角的兩邊分別與AB、AC交于點E、F時，如圖2，設CF=x，BE=y．
（1）求y與x的函數解析式，并寫出x的范圍；
（2）三角尺繞點O旋轉過程中，△OEF能否成為等腰三角形？如果能，求出相應的x值；如果不能，請說明理由；
（3）如果以O為圓心的圓與AB相切，探究三角尺繞點O旋轉的過程中，EF與圓O的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，OGAH是邊長為1的正方形，把△OEH繞O順時針旋轉90°，到達△ORG，
根據旋轉的性質得到△ORF≌△OEF，然后可以得到EF=RF=HE+GF，而AE=2-x，AF=2-y，接著在Rt△AEF中，利用勾股定理即可求出y與x的函數解析式及自變量的取值范圍；
 （2）能，若△OEF能否成為等腰三角形，有三種情況：
①OE=OF，那么E、F關于直線AO對稱，那么AE=AF，由此列出方程解決問題；
②OE=EF，那么OE²=EH²+HO²=（x+y-2）²，解方程即可求解；
 ③OF=EF，那么OF²=GF²+OG²=（x+y-2）²，解方程即可求解；
（3）如圖，根據（2）若AE=AF，E、F關于AO對稱，此時EF與O之間的結論可以求出為1，也可以⊙O的半徑為1，由此可以判定⊙O與EF相切，其他位置是相交．
解答：解：（1）如圖，OGAH是邊長為1的正方形，
把△OEH繞O順時針旋轉90°，到達△ORG，
∴△ORF≌△OEF，
∴EF=RF=HE+GF=x-1+y-1=x+y-2
而AE=2-x，AF=2-y，
在Rt△AEF中，
（2-x）²+（2-y）²=（x+y-2）²，
化簡即得：xy=2，
即y=（1≤x≤2）；

（2）能，
若△OEF能否成為等腰三角形，
①OE=OF，那么E、F關于直線AO對稱，那么AE=AF，
∴2-x=2-y，而y=，
∴x=；
②OE=EF，OE²=EH²+HO²=（x+y-2）²，
∴y=2，即x=1，
③OF=EF，OF²=GF²+OG²=（x+y-2）²，
∴y=1，即x=2．

（3）如圖，設⊙與AB相切，根據圓和等腰三角形的對稱性得到AC與圓也相切，
切點為D，連接OD，過E作EH⊥OB與H，
∵O為BC的中點，AB=2
∴OD=1，
根據（2）若EF∥BC，那么E、F關于AO對稱，此時BE=，
在Rt△EHB中，∠B=45°，
∴EH=1=OD，
∴EF與⊙O相切，
當EF在其他位置，EF與⊙O相交．
點評：此題主要考查了旋轉的旋轉、全等三角形的旋轉與判定、直線與圓的位置關系、勾股定理及切線的性質等知識，綜合性很強，要求學生熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題．