Question

【題目】直角三角形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC為一邊在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為 ．

Answer 1

【答案】2或 或
【解析】解：①以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAC，
∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=1+1=2；
②以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長線于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=1× = ，
在Rt△BAC中，BC= ，
∴BD= ；
③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=1× ，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC= ，
∴BD= ，
綜上所述：BD的長等于2或 或 ．
故答案是：2或 或 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．