Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經過點A、B．求：

（1）點A、B的坐標；

（2）拋物線的函數表達式；

（3）在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）、B（0，3）．（2）y=（x﹣2）2﹣1．（3）所求的點為P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．

【解析】

試題分析：（1）由y=﹣3x+3得，當x=0時，y=3；當y=0時，x=1，即可確定點A，B的坐標；

（2）把點A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：，解得，即可解答；

（3）存在，由AO=1，BO=3，得到AB=．設對稱x軸交于點D，P（2y），D（2，0），所以DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，分三種情況討論解答：當PA=AB即PA2=AB2=10時；當PB=AB即PB2=AB2=10時；當PA=PB即PA2=PB2時．

解：（1）由y=﹣3x+3得，當x=0時，y=3；當y=0時，x=1

∴A（1，0）、B（0，3）．

（2）把點A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：

解得

∴拋物線的函數表達式為y=（x﹣2）2﹣1．

（3）∵AO=1，BO=3，

∴AB=．

設對稱x軸交于點D，P（2，y），D（2，0），

∴DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，

當PA=AB即PA2=AB2=10時，

∴y2+1=10，

解得y=±3

∴P（2，±3），

但當P（2，﹣3）時，P、A、B在同一條直線上，不合題意舍去．

∴P1（2，3），

當PB=AB即PB2=AB2=10時，如圖，過B作BE⊥對稱軸于點E，

則E（2，3），EB=2，PE2=（y﹣3）2，

∴PB2=PE2+BE2=（y﹣3）2+4=10，

解得

∴P2（2，3+）、P3（2，3﹣），當PA=PB即PA2=PB2時，

y2+1=（y﹣3）2+4

解得y=2，

∴P4（2，2）．

綜上所述，所求的點為P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．