Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，與y軸交于C點，對稱軸與拋物線相交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB．已知x₁、x₂
恰是方程的兩根，且sin∠OBC＝.

【小題1】求該拋物線的解析式；
【小題2】拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由
【小題3】在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【小題1】由已知，可求：OA＝1，OB＝3，OC＝3.
設拋物線的函數關系式為y＝a（x＋1）（a－3）.      
∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴3＝a×1×（－3），
解得：a＝－1.
所以二次函數式為y=－x²＋2x＋3.…………………………（3分）
【小題2】由y＝－x²＋2x＋3＝－（x－1）²＋4，
則頂點P（1，4）.共分兩種情況：
 
①由B、C兩點坐標可知，直線BC解析式為y＝－x＋3.
設過點P與直線BC平行的直線為：y＝－x＋b，
將點P（1，4）代入，得y＝－x＋5.
則直線BC代入拋物線解析式是否有解，有則存在點Q，
－x²＋2x＋3＝－x＋5，
解得x＝1或x＝2.
代入直線則得點（1，4）或（2，3）.
已知點P（1，4），
所以點Q（2，3）.…………（6分）
②由對稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM＝2，
設過P′（1，0）且與BC平行的直線為y＝－x＋c，
將P′代入，得y＝－x＋1.
聯立，
解得或.
∴Q（2，3）或Q（，）或Q（，）.
………………………………………………（10分）
【小題3】由題意求得直線BC代入x＝1，

則y＝2.
∴M（1，2）.由點M，P的坐標可知：
點R存在，即過點M平行于x軸的直線，
則代入y＝2，x²－2x－1＝0，
解得x₁＝1－（在對稱軸的左側，舍去），
x₂=，
即點R（，2）．…………………（13分）解析:
（1）利用拋物線與兩軸的交點坐標求出拋物線的解析式；
（2）根據三角形面積相等就是同底等高，分兩種情況討論；
（3）與（2）相同。