Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)O在AC上，⊙O經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AB=6，sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DO，由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠1=∠3，證出DO∥BC，由平行線的性質(zhì)得出∠ADO=90°，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，由三角函數(shù)求出BC，由平行線得出△AOD∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出半徑OD，過O作OF⊥BC于F，則BE=2BF，如圖所示：則OF∥AC，由平行線的性質(zhì)得出∠BOF=∠BAC，由三角函數(shù)求出BF，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接DO，如圖1所示
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
即AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切線．
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$×6=4，
由（1）知，OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{R}{4}=\frac{6-R}{6}$，
解得：R=2.4，過O作OF⊥BC于F，如圖所示：
則BE=2BF，OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴$\frac{BF}{OB}$=sin∠BOF=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$×2.4=1.6，
∴BE=2BF=3.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要證明相似三角形求出半徑才能得出結(jié)果．