Question

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）連接BD并以BD為直徑作⊙M，當(dāng)a=-1時(shí)，請(qǐng)判斷⊙M是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）題的條件下，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)P作直線垂直于對(duì)稱(chēng)軸，垂足為Q．那么是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PQD與以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程與頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法即可求得對(duì)稱(chēng)軸及D點(diǎn)的坐標(biāo)，又由當(dāng)x=0時(shí)，y=3，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先求得點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD²+BC²=DB²，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得⊙M是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；
（3）首先求得CD，BC，的長(zhǎng)，然后分別從①若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△DCB，②若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△BCD，③若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△DCB，④若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△BCD去分析，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
∴對(duì)稱(chēng)軸為：x=-

2

2a

=-

1

a

，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C的坐標(biāo)為：（0，3），
∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：y=

12a-4

4a

=

3a-1

a

，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-

1

a

，

3a-1

a

）；…（3分）

（2）⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
理由：連接BC，
∵a=-1，
∴拋物線為：y=-x²+2x+3，
∴點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），
∴CD²=2，BD²=20，BC²=18，
∴CD²+BC²=DB²，
∴∠DCB=90°，
∵BD是直徑，
∴∠BCD是直徑所對(duì)的圓周角，
∴⊙M是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；（3分）

（3）設(shè)P（x，-x²+2x+3）
∵CD²=2，BC²=18，
∴CD=

2

，BC=3

2

，
①如圖：若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

1-x

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）；
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y=-5；
∴P₁的坐標(biāo)為（-2，-5）；
②若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

1-x

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₃=

2

3

，x₄=1（舍去）；
∴當(dāng)x=

2

3

時(shí)，y=

35

9

；
∴P₂的坐標(biāo)為（

2

3

，

35

9

）；
③若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

x-1

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₅=4，x₆=1（舍去）；
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=-5；
∴P₃的坐標(biāo)為（4，-5）；
④若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

x-1

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₇=

4

3

，x₈=1（舍去）；
∴當(dāng)x=

4

3

時(shí)，y=

35

9

；
∴P₄的坐標(biāo)為（

4

3

，

35

9

）；
綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（-2，-5）或P₂（

2

3

，

35

9

）或P₃（4，-5）或P₄（

4

3

，

35

9

）．…（4分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．