Question

如圖1，已知雙曲線y1=

k

x

(k＞0)與直線y₂=k'x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；當(dāng)x滿足：

 

時(shí)，y₁＞y₂；
（2）過原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，如圖2所示．
①四邊形APBQ一定是

 

；
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求四邊形APBQ的面積；
③設(shè)點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？若可能，求m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：數(shù)與形相結(jié)和，理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，并對(duì)函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用，同時(shí)也訓(xùn)練了平行四邊形和矩形的相關(guān)性質(zhì)．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），在第三象限當(dāng)x＜-4時(shí)y₁＞y₂，在第一象限當(dāng)0＜x＜4時(shí)y₁＞y₂．由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形．平行四邊形的對(duì)角線把它分成四個(gè)面積相等的三角形，所以只要求出△AOP的面積，再將其乘以4就可以得到APBQ的面積．根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)mn=k時(shí)OP=OA，此時(shí)APBQ是矩形．

解答：解：（1）因?yàn)檎�比例函�?shù)與反比例都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-4，-2）；
由兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），可知雙曲線的解析式為y₁=

8

x

，直線的解析式為y₂=

1

2

x，
雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂．

（2）①∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴OA=OB，OP=OQ，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知APBQ一定是平行四邊形．
②∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）
∴雙曲線為y=

3

x

，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
過A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過P作PD⊥DC，垂足為D，
用直角梯形的面積減去直角三角形的面積可得三角形POA的面積為4，再用4×4得四邊形APBQ為16．

③∵當(dāng)mn=k時(shí)，此時(shí)A（m，n），P（n，m），
∴OA=OP，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，
∴四邊形APBQ是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題考點(diǎn)清晰，難度不大，但數(shù)形結(jié)合能比較綜合的考查學(xué)生的分析能力．