Question

如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，連接AC，BC，D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF，連接BF，交DE于點(diǎn)P．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求證：BF⊥AB；
（3）連接CP，記△CPF的面積為S₁，△CPB的面積為S₂，若S=S₁-S₂，試探究S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，當(dāng)x=0，求出圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及y=0，求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出三角形的形狀；
（2）首先證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）首先根據(jù)∠DCO=∠PDB，證明△DCO∽△PDB，再利用相似三角形的性質(zhì)得出二次函數(shù)，再求出最值．
解答：（1）解：令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）證明：如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB．

（3）解：連接CP，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠PDB=90°，
∵∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠PDB，
∴△DCO∽△PDB，
∴，
設(shè)OD=x，BP=y，則，
∴，
∵BF=AD=4+x，
∴，
∴=x²-2x+8=（x-1）²+7，
∴當(dāng)OD=x=1時(shí)，S有最小值7．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題和等腰直角三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，知識(shí)考查比較全面，考查知識(shí)點(diǎn)是中考中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，也是初中階段的重點(diǎn)題型．