Question

已知一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)部可以放置五個(gè)半徑為1的圓（圓可以與正方形的邊相切），使得任意兩個(gè)圓至多只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)半徑為a的正方形內(nèi)部放置了五個(gè)半徑為1的圓，可以求得正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，據(jù)此可以求得a的最小值．

解答：解：如圖所示，當(dāng)正方形內(nèi)的五個(gè)圓按圖中的方式放置時(shí)，

正方形的邊長(zhǎng)a=2+2

2

，它表明當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為 2+2

2

時(shí)，
放置正方形內(nèi)部的五個(gè)半徑為1的圓可以滿足任意兩個(gè)圓至多只有一個(gè)公共點(diǎn)．（6分）
另一方面，在邊長(zhǎng)為a 的正方形ABCD中不重疊地放置五個(gè)半徑為1 的圓O₁、O₂、O₃、O₄、O₅，
則O₁、O₂、O₃、O₄、O₅一定都落在與ABCD各邊距離都為1的且在ABCD內(nèi)部的正方形EFHG的邊界或內(nèi)部，（10分）
將正方形EFHG分割成四個(gè)全等的正方形區(qū)域1、2、3、4，
則O₁、O₂、O₃、O₄、O₅中必有兩點(diǎn)落在同一區(qū)域中，（16分）
由于每?jī)牲c(diǎn)間的距離不小于2，
則小正方形區(qū)域?qū)�角線長(zhǎng)

2

×

a-2

2

≥2，
即a≥2

2

+2，
所以，a的最小值是2+2

2

．（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確地作出圖形．