Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A點在x負半軸上，直角頂點B在y軸上，點C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，﹣1），求點C的坐標；

（2）如圖2，過點C作CD⊥y軸于D，請直接寫出線段OA、OD、CD之間等量關系；

（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點E，過點C作CF⊥x軸于F，問CF與AE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；等腰直角三角形．

【分析】（1）如圖1，過點C作CD⊥y軸，CE⊥x軸，則四邊形CDOE為矩形，證明△ABO≌△BCD，得到BO=CD=1，OA=DB=3，即可確定C的坐標；

（2）OA=OD+CD；證明△ABO≌△BCD，得到BO=CD，OA=DB，即可解答；

（3）AE=2CF，如圖3，延長CF，AB相交于G，證明△AFC≌△AFG，得到CF=GF，再證明△ABE≌△CBG，得到AE=CG，即可解答．

【解答】解：（1）如圖1，過點C作CD⊥y軸，CE⊥x軸，則四邊形CDOE為矩形，

∵A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，﹣1），

∴OA=3，OB=1，

∵CD⊥y軸，

∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠ABO=∠DCB，

在△ABO和△BCD中，

∴△ABO≌△BCD，

∴BO=CD=1，OA=DB=3，

∴DO=BO+BD=4，EO=CD=1

∴C（﹣1，4）；

（2）OA=OD+CD；

∵CD⊥y軸，

∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠ABO=∠DCB，

在△ABO和△BCD中，

∴△ABO≌△BCD，

∴BO=CD，OA=DB，

∵BD=OB+OD，

∴OA=CD+OD．

（3）AE=2CF，

如圖3，延長CF，AB相交于G，

證明CF=FG，△ABE≌△CBG．

∵x軸恰好平分∠BAC，

∴∠CAF=∠GAF，

∵CF⊥x軸，

∴∠AFE=∠AFG=90°，

在△AFC和△AFG中，

∴△AFC≌△AFG，

∴CF=GF，

∵∠AEB=∠CEF，∠ABE=∠CFE=90°，

∴∠BAE=∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

∴△ABE≌△CBG，

∴AE=CG，

∴AE=CF+GF=2CF．

【點評】本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形全等，并利用全等三角形的性質得到相等的線段．