Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，將梯形折疊使點C與點A重合，則折痕DE恰好過BC邊中點E，如圖1，點F為折痕DE上任意一點（不與點D、E重合），過點F作DE的垂線，交BD于點G．

（1）試探求線段GF、FE與GA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）將△DFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點G、F、E在一條直線上時，如圖2，試探求線段GF、FE與GA之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)梯形折疊使點C與點A重合，得出BE=CE=AE，再證明∠ADE=∠DEC=∠AED，從而得出△ABE、△ADE、△CDE是正三角形，BD⊥AE，最后連接GE，根據(jù)△AEG中，EG²=FG²+EF²，即可證出AG²=FG²+EF²；
（2）當(dāng)點G、F、E在一條直線上時，畫出圖形，根據(jù)△AEG為Rt△，有AG²=GF×GE=GF（GF+EF），再把結(jié)果整理即可．

解答：解：（1）∵梯形折疊使點C與點A重合，則折痕DE恰好過BC邊中點E，
∴BE=CE=AE，
∴∠ADE=∠DEC=∠AED，
∴BE=CE=AE=AB=AD=CD，
∴△ABE、△ADE、△CDE是正三角形，
∴BD⊥AE，
連接GE，則AG=GE，
在△AEG中，
EG²=FG²+EF²，
即AG²=FG²+EF²；

（2）發(fā)生變化，
當(dāng)點G、F、E在一條直線上時，
∵∠FDG=30°，
∴只能是圖示位置，E、F、G才能在一直線上，
此時△AEG為Rt△，有AG²=GF×GE=GF（GF+EF）=GF²+GF×EF．

點評：此題考查了幾何變換綜合題的應(yīng)用，用到的知識點是等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，得出對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．