Question

7．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CQ=PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 過(guò)P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=$\frac{1}{2}$AC即可．

解答 解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F，如圖所示：
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFD=∠QCD}&{\;}\\{∠PDF=∠CDQ}&{\;}\\{PF=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=3，
∴DE=$\frac{3}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．