Question

如圖，正方形ABCD中，點P是AD上的一動點（與點D、點A不重合），DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與DC交于點F．
（1）求證：△DEF∽△CEB；
（2）當點P運動到DA的中點時，求證：點F為DC的中點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DE⊥CP，EF⊥BE，則∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠4+∠6=90°，而∠4+∠5=90°，
則∠5=∠6，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=DC=BC，而點P為DA的中點，則PD=AD=DC，再根據(jù)正切的定義得到tan∠4=，tan∠4=，則，然后根據(jù)
△DEF∽△CEB得到=，易得，即可得到結論．
解答：證明：（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，
∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠4+∠6=∠DCB=90°，
而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠6，
∴△DEF∽△CEB；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，
∵點P為DA的中點，
∴PD=AD=DC，
在Rt△PDC中，tan∠4=，
在Rt△DEC中，tan∠4=，
∴，
∵△DEF∽△CEB，
∴=，
而CB=DC，
∴，
∴點F為DC的中點．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應角分別相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．