Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD // BC，E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，CG // DE，交EF的延長線于點(diǎn)G．

（1）求證：四邊形DECG是平行四邊形；

（2）當(dāng)ED平分∠ADC時，求證：四邊形DECG是矩形．

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】證明：（1）∵  F是邊CD的中點(diǎn)，∴  DF = CF．………………（1分）

∵  CG // DE，

∴  ∠DEF =∠CGF．………………………………………（1分）

又  ∠DFE =∠CFG，

∴  △DEF≌△CGF（A．A．S）．…………………………（2分）

∴  DE = CG．………………………………………………（1分）

又  CG // DE，

∴  四邊形DECG是平行四邊形．…………………………………（1分）

（2）∵  ED平分∠ADC，∴  ∠ADE =∠FDE．………………………（1分）

∵  E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，

∴  EF // AD．

∴  ∠ADE =∠DEF．………………………………………………（1分）

∴  ∠DEF =∠EDF．即得  EF = DF = CF．

∴  ∠FEC =∠ECF．………………………………………………（1分）

即得  ∠EDC +∠DCE =∠DEC．

∵  ∠EDC +∠DCE +∠DEC = 180°，

∴  2∠DEC = 180°．

即得  ∠DEC = 90°．………………………………………………（2分）

又∵  四邊形DECG是平行四邊形，

∴  四邊形DECG是矩形．…………………………………………（1分）

（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

       （2）有一個角是直角的平行四邊形是矩形。