Question

已知，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線PDE垂直于AB于點F，交BC于點G，∠A=∠BCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若點C在劣弧AD上運動，其條件不變，問應再具備什么條件可使結(jié)論BG²=BF•BO成立，（要求畫出示意圖并說明理由）．

Answer 1

分析：（1）證PC是⊙O的切線，即證∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因為AB為直徑，直徑所對的圓周角為直角，即可證明．
（2）BG2=BF•BO要成立，RT△BFG和RT△BGO必須相似，而他們已經(jīng)共用了一角B，所以如果相似，則必有∠BFG=∠BGO=90°，根據(jù)垂徑定理，G點必在BC中點處．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AB為直徑，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°，
即PC是⊙O的切線．

（2）解：添加條件為：G為BC的中點．
連接OG，
∵G為BC的中點，
∴OG⊥BC又FG⊥BO，
∴Rt△BFG∽Rt△BGO，
∴

BG

BO

=

BF

BG

，
即BG²=BF•BO．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定及切線判定的理解及運用，要找到動點問題中的不變量．