Question

9、已知C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交直線AB于點(diǎn)D，則當(dāng)△ACD為等腰三解形時(shí)，∠ACD的度數(shù)為

30°或120°

．

Answer 1

分析：
如圖，連接OC，BC．
點(diǎn)C的位置有兩種情況，
①為左圖時(shí)，AC=CD；
②右上圖．AD=AC．
根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解．

解答：解：
如圖，連接OC，BC．
AB是直徑，則有∠ACB=90°；CD是切線，C是切點(diǎn)，有∠OCD=90°；則點(diǎn)C的位置有兩種情況：
①為左圖時(shí)，AC=CD，OC=OA，
∴∠D=∠A=∠ACO，∠COD=2∠A=2∠D．
∵∠COD+∠D=2∠D+∠D=90°，
∴∠ACO=∠D=30°，∠ACD=∠OCD+∠ACO=120°．
②右上圖．∵AD=AC，
∴∠D=∠DCA；
由弦切角定理知，∠DCA=∠B；
∴∠D+∠B+∠DCA+∠ACB=3∠DCA+90°=180°，
∴∠ACD=30°．
∴∠ACD的度數(shù)為120°或30°．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理求解．