Question

【題目】如圖，已知是的直徑，是上一點(diǎn)，的平分線交圓于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，分別交，于點(diǎn)，點(diǎn),．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：是等腰三角形；

（3）若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）的半徑長(zhǎng)為8

【解析】

（1）連接OD，見詳解圖，通過的平分線交圓于點(diǎn)和OD=OA及，易證∠ODE為90°；

（2）根據(jù)FG⊥AO，AD平分∠BAC及∠ADE=90°，易證∠AHF=∠HDG，進(jìn)而可得∠DHG=∠HDG,即可得出結(jié)論；

（3）由可設(shè)，，則，因?yàn)?/span>F為OA中點(diǎn)，所以AF=，過G做GM⊥AD，易證，可得，，進(jìn)而，即得答案．

（1）證明：如圖①中，，∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，∵，

∴，

∴，

∴是的切線；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）∵

設(shè)，，則

∵點(diǎn)是中點(diǎn)，

∴

∵，

∴

∴

∴，

由（2）可知，

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴在中，

∴

∴

∴的半徑長(zhǎng)為8