Question

2．如圖①所示，已知拋物線y=-x²+4x+5的頂點(diǎn)為D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于C點(diǎn)，E為拋物線上一點(diǎn)，且C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，作直線AE．
（1）求直線AE的解析式；
（2）在圖②中，若將直線AE沿x軸翻折后交拋物線于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，-7）（直接填空）；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PG與y軸平行，交直線AE于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)S_△PGE：S_△BGE=2：3時(shí)，直接寫出所有符合條件的m值，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式可找出該拋物線的對(duì)稱軸為x=2以及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的解析式；
（2）設(shè)直線AF的解析式為y=ax+c，找出點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用該點(diǎn)和A點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AF的解析式，再聯(lián)立直線AF以及拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PP′⊥直線AE于點(diǎn)P′，過點(diǎn)B作BB′⊥直線AE于點(diǎn)B′，則△PP′G和△BB′A為等腰直角三角形，根據(jù)△PGE和△BGE中有相同的底邊GE且S_△PGE：S_△BGE=2：3，即可得出PG：AB=2：3，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P、G的坐標(biāo)進(jìn)而可得出PG的長(zhǎng)度，再根據(jù)A、B的坐標(biāo)即可得出AB的長(zhǎng)度，由$\frac{PG}{AB}$=$\frac{2}{3}$即可得出|m²-3m-4|=4，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=-x²+4x+5，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為：x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2．
令y=-x²+4x+5中x=0，則y=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．
∵C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2×2-0，5），即（4，5）．
令y=-x²+4x+5中y=0，則-x²+4x+5=0，
解得：x₁=-1，x₂=5，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（-1，0）、E（4，5）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=x+1．
（2）設(shè)直線AF的解析式為y=ax+c，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5），
∴點(diǎn)E關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-5），
將點(diǎn)（-1，0）、（4，-5）代入y=ax+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-a+c}\\{-5=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AF的解析式為y=-x-1．
聯(lián)立直線AF與拋物線的解析式成方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+4x+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-7}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，-7），
故答案為（6，-7）．
（3）過點(diǎn)P作PP′⊥直線AE于點(diǎn)P′，過點(diǎn)B作BB′⊥直線AE于點(diǎn)B′，如圖所示．
∵直線AE的解析式為y=x+1，
∴△PP′G和△BB′A為等腰直角三角形．
在△PGE和△BGE中有相同的底邊GE，且S_△PGE：S_△BGE=2：3，
∴PP′：BB′=2：3，
∴PG：AB=2：3．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物線y=-x²+4x+5的圖象上，點(diǎn)G在直線y=x+1上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+4m+5），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，m+1），
∴PG=|-m²+4m+5-（m+1）|=|m²-3m-4|．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=5-（-1）=6，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{|{m}^{2}-3m-4|}{6}$=$\frac{2}{3}$，即|m²-3m-4|=4，
解得：m₁=0，m₂=3，m₃=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，m₄=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，
∴當(dāng)S_△PGE：S_△BGE=2：3時(shí)，符合條件的m值為0、3、$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$和$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱、解二元二次方程組以及點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）求出直線AF的解析式；（3）找出關(guān)于m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．