Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為 （0，2 ），點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn).

（1） 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2） 求證：∠BEF=∠AOE；

（3） 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4） 在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，P為（1） 中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（） 倍.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答.

Answer 1

解：（1） 如答圖①， ∵A （-2， 0）  B （0， 2）

∴OA=OB=2 ∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0， 2）

又∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)  則可得解得：∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²-x+2

（2） ∵OA=OB  ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE

（3） 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論

①當(dāng)OE=OF時(shí)， ∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°

又∵∠AOB＝90°

則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合， 不符合題意， 此種情況不成立.

②如答圖②， 當(dāng)FE=FO時(shí)，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 ∴ E(-1， 1)

③如答圖③， 當(dāng)EO=EF時(shí)， 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H  在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF  ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2

∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB  ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45°  ∴EH=BH=BEcos45°=2×=

∴OH=OB-BH=2- 2∴ E(-， 2-)

綜上所述， 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)， 所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E(-1， 1)或E(-， 2- 2)

（4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）