Question

（2013•常州模擬）二次函數y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₃在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₃在二次函數y=

2

3

x²位于第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₂B₂₀₁₃A₂₀₁₃都為等邊三角形，則△A₂₀₁₂B₂₀₁₃A₂₀₁₃的邊長=

2013

．

Answer 1

分析：分別過B₁，B₂，B₃作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=

3

2

a，BB₂=

3

2

b，CB₃=

3

2

，再根據所求正三角形的邊長，分別表示B₁，B₂，B₃的縱坐標，逐步代入拋物線y=

2

3

x²中，求a、b、c的值，得出規(guī)律．

解答：解：分別過B₁，B₂，B₃作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，
設A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=

3

2

a，BB₂=

3

2

b，CB₃=

3

2

c，
在正△A₀B₁A₁中，B₁（

3

2

a，

a

2

），
代入y=

2

3

x²中，得

a

2

=

2

3

×

3

4

a²，解得a=1，即A₀A₁=1，
在正△A₁B₂A₂中，B₂（

3

2

b，1+

b

2

），
代入y=

2

3

x²中，得1+

b

2

=

2

3

×

3

4

b²，解得b=2，即A₁A₂=2，
在正△A₂B₃A₃中，B₃（

3

2

c，3+

c

2

），
代入y=

2

3

x²中，得3+

c

2

=

2

3

×

3

4

c）²，解得c=3，即A₂A₃=3，
…
依此類推由此可得△A₂₀₁₂B₂₀₁₃A₂₀₁₃的邊長=2013，
故答案為：2013．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據正三角形的性質表示點的坐標，利用拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規(guī)律．