Question

如圖，直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

(x＞0)交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，AM⊥y軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N，有以下結(jié)論：①S_△AOM=S_△BON；②OA=OB；③五邊形MABNO的面積

S

五邊形MABNO

＜

b2

2

；④若∠AOB=45°，則S_△AOB=2k，⑤當(dāng)AB=

2

時，ON-BN=1；其中結(jié)論正確的個數(shù)有（　�。�

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

Answer 1

分析：①②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=

k

x

，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
③求出AB與x軸、y軸的交點(diǎn)，求出△OCD的面積，由此即可比較出S_{五邊形MABNO}＜S_△COD，即即

S

五邊形MABNO

＜

b2

2

；
④作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；
⑤延長MA，NB交于G點(diǎn)，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=

2

時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=

k

x

中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立

y=-x+b y= k x

，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①△AOM≌△BON，故本選項(xiàng)正確；
②由①可知，OA=OB，故本選項(xiàng)正確；
③如圖1，∵直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，b），（b，0），
∴S_△COD=

1

2

b•b=

1

2

b²，
由圖可知，S_{五邊形MABNO}＜S_△COD，即

S

五邊形MABNO

＜

b2

2

，故本選項(xiàng)正確．
④圖2，作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵①△AOM≌△BON，故本選項(xiàng)正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=

1

2

k+

1

2

k=k，故本選項(xiàng)錯誤；
⑤如圖3，延長MA，NB交于G點(diǎn)，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB=

2

時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴當(dāng)AB=

2

時，ON-BN=1，故本選項(xiàng)正確．
正確的結(jié)論①②③⑤．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象的對稱性．