Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)為圓心、OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE∥OB；
（2）若⊙O的半徑為2，BC=4，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB與⊙O相切，BC是⊙O的切線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷出BO⊥CD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，判斷出ED⊥CD，得出DE∥OB；
（2）因?yàn)镈E∥OB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，確定AD和AE的關(guān)系，再根據(jù)切割線定理，可求出AD的長．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線，
又∵AB與⊙O相切，
∴OC=OD，且BO為∠CBA的角平分線，
∴BO⊥CD，（3分）
又∵CE是⊙O的直徑，且C是⊙O上一點(diǎn)，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OB；（5分）

（2）解：∵DE∥OB，
∴

AD

DB

=

AE

EO

，
又BD=BC=4，OE=2，
∴

AD

4

=

AE

2

，即AD=2AE，（7分）
又AD、AC分別是⊙O的切線和割線，
∴AD²=AE•AC，即AD²=AE•（AE+4），（9分）
∴AD²=

AD

2

•（

AD

2

+4），可得AD=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道基礎(chǔ)性題目，考查了和圓相關(guān)的等腰三角形的性質(zhì)、切線長定理以及平行線分線段成比例定理，仔細(xì)分析，建立起它們之間的關(guān)系即可解答．