Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=0和x=2時(shí)，y的值相等．直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段BM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為Q．若點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合），設(shè)OQ的長(zhǎng)為t，四邊形PQOC的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．
（3）對(duì)于二次三項(xiàng)式x²-10x+36，小明同學(xué)作出如下結(jié)論：無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于11．你是否同意他的說(shuō)法？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

解：（1）①x=0和x=2時(shí)y的值相等，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
又∵拋物線的頂點(diǎn)M在直線y=3x-7上，
∴M（1，-4），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
∵直線y=3x-7與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，5），
代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4
即為：y=x²-2x-3．

（2）由y=x²-2x-3可得出，
C（0，-3），B（3，0），M（1，-4），
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把B、M兩點(diǎn)代入求得，
直線BM的解析式為y=2x-6，
∴P（t，2t-6），QP=6-2t，CO=3，QO=t，
∴S_梯形PQOC=（6-2t+3）t=-t²+t，
因此S=-t²+t，（1＜t＜3）．

（3）不同意他的觀點(diǎn)．
假設(shè)x²-10x+36=11，
解得x₁=x₂=5，
∴當(dāng)X=5時(shí)x²-10x+36等于11，
因此無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)，x²-10x+36的值都不可能等于11的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．
分析①利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)稱(chēng)軸，再求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)式，代入另一點(diǎn)可求出；
②利用拋物線的解析式，求出C、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求直線BM的解析式，用t表示出P點(diǎn)，最后用梯形的面積計(jì)算公式解答．
假設(shè)二次三項(xiàng)式x²-10x+36=11，如果求出方程有解，就說(shuō)明小明的說(shuō)法不正確．
點(diǎn)評(píng)：此題利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、待定系數(shù)法、面積計(jì)算公式等知識(shí)來(lái)解決，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．