Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，將△ABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的△A′BC′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′．如果點(diǎn)A′在BC邊上，那么點(diǎn)C和點(diǎn)C′之間的距離等于多少$\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如圖1，先利用等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，再利用勾股定理計(jì)算出AD=4，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，則利用面積法可求出C′E，然后在Rt△A′C′E中利用勾股定理計(jì)算A′E，于是可在Rt△C′CE中利用勾股定理計(jì)算出CC′．

解答 解：作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如圖1，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×8=12，
∵△ABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的△A′BC′，
∴A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，
∴A′C=3，S_△A′BC′=12，
而S_△A′BC′=$\frac{1}{2}$•5•C′E，
∴$\frac{1}{2}$•5•C′E=12，解得C′E=$\frac{24}{5}$，
在Rt△A′C′E中，A′E=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴CE=3-$\frac{7}{5}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△C′CE中，CC′=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵Rt△CC′E，利用勾股定理計(jì)算CC′的長(zhǎng)．