Question

已知：如圖，AB和AC與⊙O相切于B、C，P是⊙O上一點(diǎn)，且PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F．
求證：PD²=PE•PF．

Answer 1

證明：
∵PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，
∴四點(diǎn)D、B、E、P共圓，四點(diǎn)C、D、P、F共圓，
連接PB、DE則∠1=∠3，∠5=∠PED，
連接PC、DF，則∠2=∠4，∠6=∠PDF，
∵AB、AC是⊙O的切線，B、C是切點(diǎn)，
∴∠3=∠4，∠5=∠6．
∴∠1=∠2，∠PED=∠PDF．
∴△PED∽△PDF．
∴=，即PD²=PF•PE．
分析：先連接PB、DE，以及連接PC、DF，根據(jù)DP⊥BC，PE⊥AE，可證四點(diǎn)P、D、B、E共圓，同理，四點(diǎn)P、D、C、F共圓，可利用圓周角的性質(zhì)，分別得出兩組角相等，結(jié)合弦切角的性質(zhì)，也可得出兩組角相等，利用等量代換，可證∠1=∠2，∠PED=∠PDF，從而可證三角形相似，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得比例線段，那么此題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．