Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC、BD交于點P，且AB=BD，AP=4PC=4，則cos∠ACB的值是

3

3

．

Answer 1

分析：作BE⊥AD于E，交AC于O，則BE∥CD．可證明A、B、C、D四點共圓，根據相交弦定理得出PD，則計算出AB，由勾股定理得出BC，從而得出答案．

解答：解：作BE⊥AD于E，交AC于O，則BE∥CD，
由AB=BD得E是AD的中點，因此OE是△ACD的一條中位線，從而O是AC的中點，
以O為圓心，OA為半徑作圓，則由∠ABC=∠ADC=90°可知該圓經過A、B、C、D四點，
易知 AP=4，PC=1，AC=AP+PC=5，
因此，OA=OC=2.5．OP=OC-PC=1.5，
由BE∥CD得，BP：PD=OP：PC=1.5，
因此BP=1.5PD，從而 AB=BD=BP+PD=2.5PD，
由相交弦定理得 BP•PD=AP•PC=4，
即 1.5PD²=4，
因此 PD²=

8

3

，
從而 AB²=（2.5PD）²=6.25PD²=

50

3

，
由勾股定理得
BC²=AC²-AB²=5²-

50

3

=

25

3

，
因此 BC=

5 3

3

，
∴cos∠ACB=BC：AC=

3

3

．

點評：本題考查了直角三角形的性質、等腰三角形的性質以及四點共圓等知識點，綜合性較強．