Question

設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A，O之間的距離為d。

1.如圖1，當r<a時，根據d與a，r之間關系，請你將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d，a，r之間的關系	公共點的個數
d>a+r	0
d=a+r
a-r<d<a+r
d=a-r
d<a-r

 

2.如圖2，當r=a時，根據d與a，r之間關系，請你寫出⊙O與正方形的公共點個數，即當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有         個。

3.如圖3，當⊙O與正方形的公共點個數有5個時，r=       （請用a的代數式表示r，不必說明理由）。

 

Answer 1

 

1.如圖①

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有0、1、2個；（4分）

2.如圖②

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4個；（8分）

3.如圖③所示，連接OC．

則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．

在Rt△OCF中，由勾股定理得：

OF²+FC²=OC²

即（2a-r）²+a²=r²，

4a²-4ar+r²+a²=r²，

5a²=4ar，

R=；（12分）

解析:（1）當r＜a時，⊙A的直徑小于正方形的邊長，⊙A與正方形中垂直于直線l的一邊相離、相切、相交，三種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數；

（2）當r=a時，⊙O的直徑等于正方形的邊長，此時會出現⊙A與正方形相離，與正方形一邊相切，相交，與正方形四邊相切，四種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數；

（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，連接OC，用a、r表示△COF的各邊長，在Rt△OCF中，由勾股定理求a、r的關系．