Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線l₁的解析式為y=-x²，將拋物線l₁平移后得到拋物線l₂，若拋物線l₂經(jīng)過點（3，-1），且對稱軸為x=1．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）求拋物線l₂的頂點坐標(biāo)；
（3）若將拋物線l₂沿其對稱軸繼續(xù)上下平移，得到拋物線l₃，設(shè)拋物線l₃的頂點坐標(biāo)為B，直線OB于拋物線l₃的另一個交點為C，當(dāng)OB=OC時，求C點坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線l₂的解析式為：y=-（x-1）²+k，
將點（3，-1）代入函數(shù)解析式，
∴-1=-4+k，
解得：k=3，
∴拋物線l₂的解析式為：y=-（x-1）²+3；

（2）∴拋物線l₂的頂點坐標(biāo)為（1，3）；

（3）設(shè)l₃的解析式為：y=-（x-1）²+3+m，
∴b點坐標(biāo)為（1，3+m），
∵B，O，C三點共線且OB=OC，
∴C點坐標(biāo)為（-1，-3-m），
∵C在l₃上，
∴-（-1-1）²+3+m=-3-m，
∴m=-1，
∴C點坐標(biāo)為（-1，-2）．
分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線l₂的解析式：y=-（x-1）²+k，又由拋物線l₂經(jīng)過點（3，-1），即可求得拋物線l₂的解析式；
（2）由拋物線l₂的解析式即可得拋物線l₂的頂點坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)l₃的解析式為：y=-（x-1）²+3+m，然后由拋物線l₃的頂點坐標(biāo)為B，可求得B的坐標(biāo)，又由直線OB于拋物線l₃的另一個交點為C，當(dāng)OB=OC時，可得點C的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，即可求得答案．
點評：此題考查了二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)的求解方法等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．