Question

如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，連接PO并延長(zhǎng)，交⊙O于B、C兩點(diǎn)．
（1）求證：△PBA∽△PAC；
（2）若∠BAP=30°，PB=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：∵PA作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC；

（2）∵PA作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠OAP=90°，
∵∠BAP=30°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=60°，
∴∠P=30°
∴∠AOB=90°-∠P=90°-30°=60°．
∵OA=OB
∴△OAB是等邊三角形．
∴OB=AB．
∵PA作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠PAB=∠AOB=30°，
∴∠PAB=∠P，
∴AB=BP
∴OB=AB=BP=2．
分析：（1）利用弦切角定理可以證明：∠PAB=∠C，則△PBA和△PAC中有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則一定相似；
（2）易證△OAB是等邊三角形，再證明AB=BP，即可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了弦切角定理，切線的性質(zhì)定理，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．