Question

（2013•武漢）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，連接PA，PB，PC．
（1）如圖①，若∠BPC=60°．求證：AC=

3

AP；
（2）如圖②，若sin∠BPC=

24

25

，求tan∠PAB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠BPC=∠BAC=60°，可判斷△ABC為等邊三角形，∠ACB=∠ABC=60°，再利用圓周角定理得到∠APC=∠ABC=60°，而點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，則∠ACP=

1

2

∠ACB=30°，于是∠PAC=90°，然后根據(jù)30度的正切可計(jì)算出AC=

3

AP；
（2）過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于D，連結(jié)OP交AB于E，根據(jù)垂徑的推論得到點(diǎn)O在AD上，連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得∠BOD=∠BAC，∠BPC=∠BAC，所以sin∠BOD=sin∠BPC=

24

25

=

BD

OB

，設(shè)OB=25x，則BD=24x，在Rt△OBD中可計(jì)算出OD=7x，再在Rt△ABD計(jì)算出AB=40x，由于點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論OP垂直平分AB，則AE=

1

2

AB=20x，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OE=15x，所以PE=OP-OE=25x-15x=10x，最后在Rt△APE中，利用正切的定義求解．

解答：解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，
∴∠ACP=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=tan30°=

3

3

，
∴AC=

3

PA；

（2）過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于D，連結(jié)OP交AB于E，如圖，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴點(diǎn)O在AD上，
連結(jié)OB，則∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC=

24

25

=

BD

OB

，
設(shè)OB=25x，則BD=24x，
∴OD=

OB2-BD2

=7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB=

AD2+BD2

=40x，
∵點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=

1

2

AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE=

AO2-AE2

=15x，
∴PE=OP-OE=25x-15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE=

PE

AE

=

10x

20x

=

1

2

，
即tan∠PAB的值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理、圓周角定理和解直角三角形．