Question

【題目】課本拓展

舊知新意：

我們容易證明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？

1．嘗試探究：

（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數量關系？為什么？

2．初步應用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2-∠C= ；

（3）小明聯(lián)想到了曾經解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案 ．

3拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由）

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA=360°-2∠P．

【解析】

試題分析：（1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內角和定理整理即可得解；

（2）根據（1）的結論整理計算即可得解；

（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內角和定理列式整理即可得解；

（4）延長BA、CD相交于點Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結論整理即可得解．

試題解析：（1）∠DBC+∠ECB

=180°-∠ABC+180°-∠ACB

=360°-（∠ABC+∠ACB）

=360°-（180°-∠A）

=180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，

∴130°+∠2=180°+∠C，

∴∠2-∠C=50°；

（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，

∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），

在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；

即∠P=90°-∠A；

（4）延長BA、CD于Q，

則∠P=90°-∠Q，

∴∠Q=180°-2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，

=180°+180°-2∠P，

=360°-2∠P．