Question

1．已知：如圖，一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+n與x軸交于點(diǎn)B，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+m與y軸交于點(diǎn)C，且它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)D（1，-$\frac{8}{3}$）．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；
（3）在（2）的條件下，在第四象限內(nèi)，以CP為腰作等腰Rt△CPQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)面積的和差，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得PF，PQ的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=$\frac{4}{3}$x+n，解得n=-4，
即y=$\frac{4}{3}$x-4，當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{4}{3}$x-4=0．
解得x=3，
即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
將（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=-$\frac{2}{3}$x+m，解得n=-2，
即y=-$\frac{2}{3}$x-2，當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{2}{3}$x-2=-2．
即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；
（2）連接PC，PD，
如圖1，
S_△BDP=$\frac{1}{2}$（t-3）×|-$\frac{8}{3}$|=$\frac{4}{3}$（t-3）；
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{2}{3}$x-2=0，解得x=-3，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．
S_△CDP=S_△DPE-S_△CPE=$\frac{1}{2}$（t+3）×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×（t+3）×|-2|=$\frac{1}{3}$（t+3）．
由△BDP和△CDP的面積相等，得
$\frac{1}{3}$（t+3）=$\frac{4}{3}$（t-3）．
解得t=5，
（3）如圖2，

QF⊥x軸于F點(diǎn)．
由△CPQ是等腰直角三角形，得
CP=PQ，∠CPQ=90°．
∠OPC+∠PCO=90°，∠OPC+∠QPF=90°，
∴∠PCO=∠QPF．
在△CPO和△PQF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠O=∠PFQ}\\{∠PCO=∠QPF}\\{CP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△CPO≌△PQF（AAS），
∴PF=OC=2，F(xiàn)Q=OP=5，
Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5+2=7，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-5，
即Q（7，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用面積的和差得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出PF=OC=2，F(xiàn)Q=OP=5是解題關(guān)鍵．