Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求出此時(shí)t的值．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形．

（3）已知過O、P、Q三點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣．問是否存在某一時(shí)刻t，將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)t=2或t=5+或t=5﹣時(shí)，△PQB為直角三角形．（3）存在這樣的t值，t1=，t2=2．

【解析】

（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出DO的長，進(jìn)而得出t的值；
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；
（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性可求出t的值．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD=∠DOQ=45°，

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，

∴AO=AD=4，

∴

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如圖1，

作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，

∴∠OPG=45°，

∵

∴OG=PG=2t，

∴點(diǎn)P（2t，2t）

又∵Q（4t，0），B（12，4），

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得：PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，

①若∠PQB=90°，則有PQ2+BQ2=PB2，

即：8t2+[（12﹣4t）2+42]=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，

整理得：t2﹣2t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，則有PB2+QB2=PQ2，

∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]=8t2，

整理得：t2﹣10t+20=0，

解得：

∴當(dāng)t=2或或時(shí)，△PQB為直角三角形．

（3）存在這樣的t值，理由如下：

將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，

則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形．

∵PO=PQ，由P（2t，2t），Q（4t，0），知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)可表示為（3t，t），

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（12，4），

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（6t﹣12，2t﹣4），

代入 得：2t2﹣13t+18=0，

解得：