Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）證明：△ABM∽△MCN；
（2）當M點運動到BM的長為1時，求CN的長；
（3）設BM=x，當M點運動到什么位置時，梯形ABCN面積為10，求x的值；
（4）當M點運動到何處時△ABM與△AMN相似？

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；

（2）解：∵正方形ABCD邊長為4，BM=1，
∴CM=BC-BM=3，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
即，
∴CN=；

（3）解：∵正方形ABCD邊長為4，BM=x，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴，
∴CN=，
∵梯形ABCN面積為10，
∴S_梯形ABCN=（CN+AB）•BC=×[+4]×4=10，
整理得：x²-4x+4=0，
解得：x=2；

（4）解：設BM=x，
∵正方形ABCD邊長為4，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴，
∴CN=，
∴在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=16+x²，
在Rt△CMN中，MN²=CM²+CN²=（4-x）²+[]²=，
∵∠B=∠AMN=90°，
∴當時，△ABM∽△AMN，
∴當，即時，△ABM∽△AMN，
解得：x=2，
∴BM=2，
∴當BM=2時△ABM與△AMN相似．
分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAM=∠CMN，然后由有兩角對應相等的三角形相似，即可得△ABM∽△MCN；
（2）由正方形ABCD邊長為4，BM的長為1，則可求得CM的值，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得CN的長；
（3）由BM=x，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可表示出CN的長，又由梯形ABCN面積為10，即可求得x的值；
（4）由相似三角形的對應邊成比例，即可得當時，△ABM∽△AMN，繼而可求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．