Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，交AC于H，交CD于點(diǎn)F。（1）求證：點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)；（2）如果正方形的邊長為4，求CH的長度；（3）如果點(diǎn)M是BC上的一點(diǎn)，且AM=MC+CD，

探究∠MAD與∠BAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵在正方形ABCD中，

          ∴AB=BC  ∠ABC=∠BCD=90°

          ∵BG⊥AE

          ∴∠AGB=90°

          ∴∠ABG+∠BAG=90°

            ∠ABG+∠GBE=90°

          ∴ ∠BAG=∠GBE

            ∴△ABE≌△BCF   

            ∴BE=CF

            ∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)  ∴BE=BC 

            ∴ CF=BC=CD   

∴點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)

  （2）∵ AB=BC=4 , ∠ABC =90°      ∴AC=

        ∵在正方形ABCD中,  ∴AB∥CD  ∴CH:HA=CF:AB

         由(1)知CF=AB    ∴CH:HA=CF:AB=1:2

         ∴CH=AH=AC=       

   （3）∠MAD=2∠BAE  理由如下：           

連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)N,

       

        ∵點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)      ∴可證△ADF≌△NCF

        ∴CN=AD，∠N= ∠CAN

        ∵在正方形ABCD中,   ∴AD=DC=DN，

        ∵ AM=MC+CD   ∴MC+CN=MC+CD=NM

∴AM=MN     ∴∠N=∠MAN

∴∠MAD=2∠DAF

由（1）可知點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，

∴DF=BE   ∠ABE=∠ADF=90°   AB=AD

△ABE≌△ADF

∴∠DAF=∠BAE

        ∴∠MAD=2∠BAE                     

【解析】（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，進(jìn)而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)；

（2）根據(jù)AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，進(jìn)而得出CH的長度；

（3）首先證明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠CAN，進(jìn)而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE