Question

已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a²+b²=1，則a⁴+ab+b⁴的最小值為（ ）
A．
B．0
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：利用完全平方公式把a(bǔ)⁴+ab+b⁴配成關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式，再根據(jù)平方數(shù)非負(fù)數(shù)（a-b）²=a²-2ab+b²求出ab的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．
解答：解：∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-≤ab≤，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-）²+，
當(dāng)-≤ab≤時(shí)，y隨ab的增大而增大，
當(dāng)≤ab≤時(shí)，y隨ab的增大而減小，
故當(dāng)ab=-時(shí)，a⁴+ab+b⁴的最小值，為-2（--）²+=-2×+=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)，ab=-，此時(shí)a=-，b=，或 a=，b=-．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，完全平方公式，配方成關(guān)于ab的形式并求出ab的取值范圍是解題的關(guān)鍵．