【題目】如圖,直線y= x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )

A.(﹣3,0)
B.(﹣6,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)

【答案】C
【解析】解:(方法一)作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接CD′交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD值最小,如圖所示.

令y= x+4中x=0,則y=4,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4);

令y= x+4中y=0,則 x+4=0,解得:x=﹣6,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).

∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),

∴點(diǎn)C(﹣3,2),點(diǎn)D(0,2).

∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,

∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0,﹣2).

設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b,

∵直線CD′過點(diǎn)C(﹣3,2),D′(0,﹣2),

∴有 ,解得: ,

∴直線CD′的解析式為y=﹣ x﹣2.

令y=﹣ x﹣2中y=0,則0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣ ,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ ,0).

故選C.

(方法二)連接CD,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接CD′交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD值最小,如圖所示.

令y= x+4中x=0,則y=4,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4);

令y= x+4中y=0,則 x+4=0,解得:x=﹣6,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).

∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),

∴點(diǎn)C(﹣3,2),點(diǎn)D(0,2),CD∥x軸,

∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,

∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0,﹣2),點(diǎn)O為線段DD′的中點(diǎn).

又∵OP∥CD,

∴點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn),

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ ,0).

故選C.

(方法一)根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(方法二)根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo),根據(jù)三角形中位線定理即可得出點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn),由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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