Question

如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=30°．
（1）求圓心O到CD的距離OF；
（2）求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵BO=（AE+BE）=（1+5）=3，
∴OE=3-1=2，
在Rt△EFO中，
∵∠OEF=30°
∴OF=1，
即點O到CD的距離為1；
（2）連接OD，如圖，
在Rt△DFO中，
OD=3，
∴DF===2，
∵OF⊥CD，
∴CD=2DF=4
∴CD的長為4．
分析：（1）先由AE=1cm，EB=5cm，得到半徑OB=3，則OE=2，在Rt△EFO中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OF的長；
（2）連接OD，在Rt△DFO中，先利用勾股定理計算出DF，由OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到DF=CF，即可得到弦CD的長．
點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關系．